Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость. Абсолютная сходимость рядов Абсолютная сходимость ряда
с (вообще говоря) комплексными членами, для к-рого сходится ряд
Для абсолютной сходимости ряда (1) необходимо и достаточно (критерий Коши абсолютной сходимости ряда), чтобы для любого существовал такой номер , что для всех номеров и всех целых выполнялось
Если ряд абсолютно сходится, то он сходится. Ряд
абсолютно сходится 
а ряд
сходится, но не абсолютно. Пусть
Ряд, составленный из тех же членов, что и ряд (1), но взятых, вообще говоря, в другом порядке.
Из абсолютной сходимости ряда (1) следует и абсолютная ряда (3), и ряд(З) имеет ту же самую сумму, что и ряд (1). Если ряды
абсолютно сходятся, то: любая их линейная комбинация
также абсолютно сходится; ряд, полученный из всевозможных попарных произведений членов этих рядов, расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится и его сумма равна произведению сумм данных рядов. Перечисленные свойства абсолютно сходящихся рядов переносятся и на кратные ряды
абсолютно сходится, т. е. абсолютно сходятся все ряды, получающиеся последовательным суммированием членов ряда (4) по индексам причем суммы кратного ряда (4) и повторного (5) равны и совпадают с суммой любого однократного ряда, образованного из всех членов ряда (4).
Если члены ряда (1) суть элементы нек-рого банахова пространства с нормой элементов то ряд (1) наз. абсолютно сходящимся, если сходится ряд
На случай А. с. р. элементов банахова пространства также обобщаются рассмотренные выше свойства абсолютно сходящихся числовых рядов, в частности А. с. р. элементов банахова пространства сходится в этом пространстве. Аналогичным образом понятие А. с. р. переносится и на кратные ряды в банаховом пространстве.
Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .
Смотреть что такое "АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЙСЯ РЯД" в других словарях:
Функциональный ряд (1) с (вообще говоря) комплексными членами, сходящийся на множестве X, и такой, что для любого e>0 существует номер ne , что для всех n>ne и всех выполняется неравенство где и Иными словами, последовательность частичных… … Математическая энциклопедия
Содержание. 1) Определение. 2) Число, определяемое рядом. 3) Сходимость и расходимость рядов. 4) Условная и абсолютная сходимость. 5) Равномерная сходимость. 6) Разложение функций в ряды. 1. Определения. Р. есть последовательность элементов,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Б е с к о н е ч н а я с у м м а, последовательность элементов (наз. ч л е н а м и д а н н о г о р я д а) нек рого линейного топологич. пространства и определенное бесконечное множество их конечных сумм (наз. ч а с т и ч н ы м и с у м м а м и р я… … Математическая энциклопедия
Ряд, бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +... + un +... или, короче, . (1) Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 + q + q 2 +... + q… …
I бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +... + un +... или, короче, Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей… … Большая советская энциклопедия
Последовательность функций, которые в незаштрихованной области сходятся к натуральному логарифму (красный). В данном случае это N я частичная сумма степенного ряда, где N указывает на число слагаемых. Функциональный ряд … Википедия
S кратный ряд, выражение вида составленное из членов таблицы Каждый член этой таблицы занумерован индексами т, п, . . . , р, к рые пробегают независимо друг от друга все натуральные числа. Теория К. р. аналогична теории двойных рядов. См. также… … Математическая энциклопедия
Ряд по косинусам и синусам кратных дуг, т. е. ряд вида или в комплексной форме где ak, bk или, соответственно, ck наз. коэффициентами Т. р. Впервые Т. р. встречаются у Л. Эйлера (L. Euler, 1744). Он получил разложения В сер. 18 в. в связи с… … Математическая энциклопедия
Ряд где функции, голоморфные в нек рой не зависящей от kобласти Если для всех, то ряд (*) наз. рядом Гартогса. Всякая функция, голоморфная в Гартогса области D вида разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся внутри DГ. Л. р. В полных… … Математическая энциклопедия
Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда.
Определение 2.2. Числовой ряд , члены которого после любого номера имеют разные знаки, называется знакопеременным .
Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости .
Теорема 2.2. Пусть дан знакопеременный ряд
Если сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда
то сходится и сам знакопеременный ряд (2.2).
Надо отметить, что обратное утверждение неверно: если сходится ряд (2.2), то это не означает, что будет сходиться ряд (2.3).
Определение 2.3. абсолютно сходящимся , если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.
Знакопеременный ряд называется условно сходящимся , если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место. Такие ряды обладают рядом свойств, которые сформулируем без доказательства.
Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами и есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна .
Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычитаются, перемножаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не зависит от порядка записи членов.
В случае условно сходящихся рядов соответствующие утверждения (свойства), вообще говоря, не имеют места.
Так, переставляя члены условно сходящегося ряда, можно добиться того, что сумма ряда измениться. Например, ряд 
условно сходится по признаку Лейбница. Пусть сумма этого ряда равна . Перепишем его члены так, что после одного положительного члена будут идти два отрицательных. Получим ряд
Сумма уменьшилась вдвое!
Более того, путем перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить сходящийся ряд с заранее заданной суммой или расходящийся ряд (теорема Римана).
Поэтому действия над рядами нельзя производить, не убедившись в их абсолютной сходимости. Для установления абсолютной сходимости используют все признаки сходимости числовых рядов с положительными членами, заменяя всюду общий член его модулем.
Пример 2.1.
.
Решение.
Исходный ряд знакопеременный. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, т.е. ряд 
. Так как , то члены сходного ряда не больше членов ряда Дирихле 
, который, как известно, сходится. Следовательно, на основании признака сравнения данный ряд сходится абсолютно. ,
Пример 2.2. Исследовать на сходимость ряд .
Решение.
2) Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных членов . Исследуем его на сходимость, используя признак Даламбера
По признаку Даламбера ряд, составленный из абсолютных членов, сходится. Значит, исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно. ,
Пример 2.3.
Исследовать на сходимость ряд 
.
Решение. 1) Данный ряд знакочередующийся. Используем признак Лейбница. Проверим, выполняются ли условия.
Следовательно, исходный ряд сходится.
2) Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных членов . Исследуем его на сходимость, используя предельный признак сравнения. Рассмотрим гармонический ряд , который расходится.
Следовательно, оба ряда ведут себя одинаково, т.е. ряд, составленный из абсолютных членов, тоже расходится. Значит, исходный знакочередующийся ряд сходится условно. ,
Определение 1
Числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $, члены которого имеют произвольные знаки (+), (?), называется знакопеременным рядом.
Рассмотренные выше знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременного ряда; понятно, что не всякий знакопеременный ряд является знакочередующимся. Например, ряд $1-\frac{1}{2} -\frac{1}{3} +\frac{1}{4} +\frac{1}{5} -\frac{1}{6} -\frac{1}{7} +\ldots - $ знакопеременный, но не являющийся знакочередующимся рядом.
Отметим, что в знакопеременном ряде членов как со знаком (+), так и со знаком (-) бесконечно много. Если это не выполняется, например, ряд содержит конечное число отрицательных членов, то их можно отбросить и рассматривать ряд, составленный только из положительных членов, и наоборот.
Определение 2
Если числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ сходится и его сумма равна S,а частичная сумма равна $S_n$ , то $r_{n} =S-S_{n} $ называется остатком ряда, причём $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } r_{n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } (S-S_{n})=S-S=0$, т.е. остаток сходящегося ряда стремится к 0.
Определение 3
Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| $.
Определение 4
Если числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ сходится, а ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| $, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.
Теорема 1 (достаточный признак сходимости знакопеременных рядов)
Знакопеременный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ сходится, причём абсолютно, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| $.
Замечание
Теорема 1 даёт только достаточное условие сходимости знакопеременных рядов . Обратная теорема неверна, т.е. если знакопеременный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ сходится, то не обязательно, что сходится ряд, составленный из модулей $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| $ (он может быть как сходящимся, так и расходящимся). Например, ряд $1-\frac{1}{2} +\frac{1}{3} -\frac{1}{4} +...=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1} }{n} $ сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{n} $ (гармонический ряд) расходится.
Свойство 1
Если ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ абсолютно сходится, то он абсолютно сходится при любой перестановке его членов, при этом сумма ряда не зависит от порядка расположения членов. Если $S"$ - сумма всех его положительных членов, а $S""$ - сумма всех абсолютных величин отрицательных членов, то сумма ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ равна $S=S"-S""$.
Свойство 2
Если ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ абсолютно сходится и $C={\rm const}$, то ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }C\cdot u_{n} $ также абсолютно сходится.
Свойство 3
Если ряды $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ и $\sum \limits _{n=1}^{\infty }v_{n} $ абсолютно сходятся, то ряды $\sum \limits _{n=1}^{\infty }(u_{n} \pm v_{n}) $ также абсолютно сходятся.
Свойство 4 (теорема Римана)
Если ряд условно сходится, то какое бы мы не взяли число А, можно переставить члены данного ряда так, чтобы его сумма оказалась в точности равной А; более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, чтобы после этого он расходился.
Пример 1
Исследовать на условную и абсолютную сходимость ряд
\[\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} .\]
Решение. Данный ряд является знакопеременным, общий член которого обозначим: $\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.
Пример 2
Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n} }{n+1} $.
- Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Обозначим $\frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n} }{n+1} =u_{n} $ и составим ряд из абсолютных величин $a_{n} =\left|u_{n} \right|=\frac{\sqrt{n} }{n+1} $. Получаем ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{\sqrt{n} }{n+1} $ с положительными членами, к которому применяем предельный признак сравнения рядов. Для сравнения с рядом $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{\sqrt{n} }{n+1} $ рассмотрим ряд, который имеет вид $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, b_{n} =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{\sqrt{n} } \, $. Этот ряд является рядом Дирихле с показателем $p=\frac{1}{2}
- Далее исследуем исходный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n} }{n+1} $ на условную сходимость. Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница. Условие 1): $u_{n} =(-1)^{n} \cdot a_{n} $, где $a_{n} =\frac{\sqrt{n} }{n+1} >0$, т.е. этот ряд знакочередующийся. Для проверки условия 2) о монотонном убывании членов ряда используем следующий метод. Рассмотрим вспомогательную функцию $f(x)=\frac{\sqrt{x} }{x+1} $, определенную при $x\in {|a_{n}|}}}
. Тогда
Утверждение о сходимости в признаках Коши и Даламбера выводится из сравнения с геометрической прогрессией (со знаменателями lim ¯ n → ∞ | a n + 1 a n | {\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|} и α {\displaystyle \alpha } соответственно), о расходимости - из того, что общий член ряда не стремится к нулю.
Признак Коши сильнее признака Даламбера в том смысле, что если признак Даламбера указывает на сходимость, то и признак Коши указывает на сходимость; если признак Коши не позволяет сделать вывода о сходимости, то и признак Даламбера тоже не позволяет сделать никаких выводов; существуют ряды, для которых признак Коши указывает на сходимость, а признак Даламбера не указывает на сходимость.
Интегральный признак Коши - Маклорена
Пусть задан ряд ∑ n = 1 ∞ a n , a n ⩾ 0 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n},a_{n}\geqslant 0} и функция f (x) : R → R {\displaystyle f(x):\mathbb {R} \to \mathbb {R} } такая, что:
Тогда ряд ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} и интеграл ∫ 1 ∞ f (x) d x {\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx} сходятся или расходятся одновременно, причем ∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ a n ⩾ ∫ k ∞ f (x) d x ⩾ ∑ n = k + 1 ∞ a n {\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum _{n=k}^{\infty }a_{n}\geqslant \int \limits _{k}^{\infty }f(x)dx\geqslant \sum _{n=k+1}^{\infty }a_{n}}
Признак Раабе
Пусть задан ряд ∑ a n {\displaystyle \sum a_{n}} , a n > 0 {\displaystyle a_{n}>0} и R n = n (a n a n + 1 − 1) {\displaystyle R_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)} .
Признак Раабе основан на сравнении с обобщенным гармоническим рядом
Действия над рядами
Примеры
Рассмотрим ряд 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 + . . . {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+...} . Для этого ряда:
Таким образом, признак Коши указывает на сходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.
Рассмотрим ряд ∑ n = 1 ∞ 2 n − (− 1) n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{n-(-1)^{n}}}
Таким образом, признак Коши указывает на расходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.
Ряд ∑ n = 1 ∞ 1 n α {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}} сходится при α > 1 {\displaystyle \alpha >1} и расходится при α ⩽ 1 {\displaystyle \alpha \leqslant 1} , однако:
Таким образом, признаки Коши и Даламбера не позволяют сделать никаких выводов.
Ряд ∑ n = 1 ∞ (− 1) n n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}} сходится условно по признаку Лейбница , но не абсолютно, так как гармонический ряд ∑ n = 1 ∞ | (− 1) n n | = ∑ n = 1 ∞ 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {(-1)^{n}}{n}}\right|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}} расходится.
, неограничена в левой окрестности точки b {\displaystyle b} . Несобственный интеграл второго рода ∫ a b f (x) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx} называется абсолютно сходящимся , если сходится интеграл ∫ a b | f (x) | d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}|f(x)|dx} .
